Question

1．若數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=2，且a_nb_n+b_n=nb_n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{_{n+1}}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對(duì)一切n∈N^*，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=2，且a_nb_n+b_n=nb_n+1．可得a₁+1=2，解得a₁．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．
可得2nb_n=nb_n+1，化為2b_n=b_n+1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{_{n+1}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用“錯(cuò)位相減法”可得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性與分類討論即可得出．

解答 解：（I）∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=2，且a_nb_n+b_n=nb_n+1．
∴a₁+1=2，解得a₁=1．
又?jǐn)?shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴2nb_n=nb_n+1，化為2b_n=b_n+1，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比為2．
∴b_n=2^n-1．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{_{n+1}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=1+$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．
不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，化為：（-1）ⁿλ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，
n=2k（k∈N^*）時(shí)，λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，∴λ＜3．
n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，-λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，∴λ＞-2．
綜上可得：實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．