Question

向高為8m，底面邊長為8m的倒置正四棱錐形的容器內注水，其速度為每分鐘

8

3

m³，當水深為5m時，水面上升的速度是每分鐘

32

75

m．

Answer 1

分析：利用平行線分線段成比例定理得到水面的半徑與水高的關系；利用圓錐的體積公式求出水深與時間的函數(shù)關系；對水深求導數(shù)即為水上升的速度．

解答：解：設容器中水的體積在t分鐘時為V，水深為h，V=

8

3

t
又V=

1

3

×CD²•h，
圖知

CD

AD

=

BO

AO

⇒

CD

h

=

4

8

⇒CD=

1

2

h，
∴V=

1

3

•(

1

2

h)2•h=

1

12

h³，
∴

8

3

t=

1

12

h³，⇒h=

3	32t

，
∴h^′=

3	32

×

1

3

×t-

2

3

．
h=5，t=

125

32

，h^′=

32

75

．
∴當h=5米時，水面上升速度為

32

75

米/分．
故答案為：

32

75

．

點評：本題考查圓錐的體積公式、平行線分線段成比例定理、對水深求導即為水上升的速度．