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設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx﹣x+a．
（Ⅰ）設(shè)g（x）=f'（x），求g（x）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，試研究函數(shù)f（x）=（x+a）lnx﹣x+a的零點(diǎn)個數(shù)．

解：（Ⅰ）g（x）的定義域是（0，+∞）
∵g（x）=f'（x）=+lnx，
∴g'（x）=﹣，
（1）當(dāng)a≤0時，g'（x）＞0，
∵g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故g（x）單調(diào)區(qū)間是（0，+∞）
（2）當(dāng)a＞0時，g'（x）＞0，
∵g（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，再由g'（x）＜0得g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減．
g（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，a）與（a，+∞）
（Ⅱ）由題（Ⅰ）知，g（x）在x=a時取到最小值，且為g（a）=+lna=1+lna．
∵a≥，
∴l(xiāng)na≥﹣1，
∴g（a）≥0。
∴f'（x）≥g（a）≥0．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（e）=（e+a）lne﹣e+a=2a＞0，＜0，∴內(nèi)有零點(diǎn)．
故函數(shù)f（x）=（x+a）lnx﹣x+a的零點(diǎn)個數(shù)為1．

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    科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
    		2
    ，求a的值；
    （2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
    （3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
    		2
    2
    ，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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    科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
    ①f(-
    3
    4
    ) ＜f(
    15
    2
    )    ；
    ②當(dāng)x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
    ③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
    ④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
    其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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    科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

    設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
    		2
    ，求a的值；
    （2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
    （3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
    		2
    2
    ，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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    科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（一）（解析版） 題型：解答題

    設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）2，x＞0．
    （1）求f（x）的極值；
    （2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)的最小值；
    （3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數(shù)m有且只有一個，求實數(shù)m和t的值．

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    （1）求f（x）的極值；
    （2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)的最小值；
    （3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數(shù)m有且只有一個，求實數(shù)m和t的值．

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