Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，其左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸長為2

3

．點P在橢圓C上，且滿足△PF₁F₂的周長為6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過點（-1，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試問在x軸上是否存在一個定點M，使得

MA

•

MB

恒為定值？若存在，求出該定值及點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由題意知：

2b=2 3 2a+2c=6 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C方程．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．設直線l的方程為：y=k（x+1）（k存在）聯(lián)立

y=k(x+1) 3x2+4y2=12

，得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積結合已知條件推導出存在M(-

11

8

，0)，使得

MA

•

MB

=-

135

64

．

解答： 解：（I）由題意知：

2b=2 3 2a+2c=6 a2=b2+c2

，
解得

a=2 b= 3 c=1

，
∴橢圓C方程為：

x2

4

+

y2

3

=1
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．
設直線l的方程為：y=k（x+1）（k存在）
聯(lián)立

y=k(x+1) 3x2+4y2=12

，得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
則x1+x2=

-8k2

4k2+3

；x1•x2=

4k2-12

4k2+3

又y1•y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)
=k2(

4k2-12

4k2+3

-

8k2

4k2+3

+1)=

-9k2

4k2+3

而

MA

•

MB

=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=

4k2-12

4k2+3

-m×

-8k2

4k2+3

-

9k2

4k2+3

+m2
=

4k2-12+8mk2-9k2+m2(4k2+3)

4k2+3

=

(4m2+8m-5)k2+3m2-12

4k2+3

為定值．
只需

4m2+8m-5

4

=

3m2-12

3

，
解得：m=-

11

8

，從而

MA

•

MB

=-

135

64

．
當k不存在時，A(-1，

3

2

)，B(-1，-

3

2

)
此時，當m=-

11

8

時，

MA

•

MB

=(-1-m)(-1-m)-

9

4

=-

135

64

故：存在M(-

11

8

，0)，使得

MA

•

MB

=-

135

64

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量的數(shù)量積的合理運用．