Question

【題目】已知函數(shù)的周期為，圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象．

（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）（理）求證：存在，使得，，能按照某種順序成等差數(shù)列．

（3）（文）定義：當(dāng)函數(shù)取得最值時(shí)，函數(shù)圖像上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的最值點(diǎn)，如果函數(shù)的圖像上至少有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)在圓的內(nèi)部或圓周上，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）， （2）證明見(jiàn)解析 （3）

【解析】

（1）先根據(jù)周期得再根據(jù)對(duì)稱(chēng)中心得，最后根據(jù)圖象變換規(guī)律得結(jié)果；

（2）先確定大小關(guān)系，再根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)得方程，最后利用零點(diǎn)存在定理證明方程有解；

（3）先求函數(shù)最值點(diǎn)坐標(biāo)，再確定與原點(diǎn)距離最近的最大值和最小值點(diǎn)坐標(biāo)，代入解不等式得結(jié)果.

解：(1)、由函數(shù)的周期為，，得,

又曲線(xiàn)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，，

故，得，所以

將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)后可得的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，所以

(2)、（理）當(dāng)時(shí)，，，

所以

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解．

設(shè)，

，，

且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)

（3）（文）函數(shù)當(dāng)時(shí)取得最大值或最小值，當(dāng)，即與原點(diǎn)距離最近的最大值和最小值點(diǎn)分別是點(diǎn)和，于是有，所以的取值范圍是