Question

2．定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x）-2，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x\;\;，\;\;x∈（{0，1}）\\ \frac{1}{x}\;，\;\;\;\;x∈[{1，2}]\end{array}$，若x∈（0，4]時(shí)，t²-$\frac{7t}{2}$≤f（x）≤3-t恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． $（1，\frac{5}{2}）$
• C． $（2，\frac{5}{2}）$
• D． [1，2]

Answer 1

分析 由f（x+2）=2f（x）-2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函數(shù)的解析式，分別求出（0，4]內(nèi)的四段的最小值和最大值，注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值和函數(shù)的單調(diào)性，再由t²-$\frac{7t}{2}$≤f（x）≤3-t恒成立即為由t²-$\frac{7t}{2}$≤f（x）_min，f（x）_max≤3-t，解不等式即可得到所求范圍

解答 解：當(dāng)x∈（2，3），則x-2∈（0，1），
則f（x）=2f（x-2）-2=2（x-2）²-2（x-2）-2，即為
f（x）=2x²-10x+10，
當(dāng)x∈[3，4]，則x-2∈[1，2]，
則f（x）=2f（x-2）-2=$\frac{2}{x-2}$-2．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值，且為-$\frac{1}{4}$；
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得最小值，且為$\frac{1}{2}$；
當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值，且為-$\frac{5}{2}$；
當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，當(dāng)x=4時(shí)，f（x）取得最小值，且為-1．
綜上可得，f（x）在（0，4]的最小值為-$\frac{5}{2}$．
若x∈（0，4]時(shí)，t²-$\frac{7t}{2}$≤f（x）恒成立，
則有t²-$\frac{7t}{2}$≤-$\frac{5}{2}$．
解得1≤t≤$\frac{5}{2}$．
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）的最大值為1，當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，f（x）∈[-$\frac{5}{2}$，-2），
當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，f（x）∈[-1，0]，
即有在（0，4]上f（x）的最大值為1．
由f（x）_max≤3-t，即為3-t≥1，解得t≤2，
即有實(shí)數(shù)t的取值范圍是[1，2]．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查分段函數(shù)的最小值，運(yùn)用不等式的恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．