Question

已知動圓過定點，且與直線相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α、β變化且時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)動圓圓心為M（x，y），則，由此能導(dǎo)出所求動圓圓心的軌跡C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，把y=kx+b代入y²=2px：得ky²-2py+2pb=0，由韋達定理知，，由得：，由此能求出直線AB恒過定點（-2p，2p）．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動圓圓心為M（x，y）…（1分）
則，
化簡，得：y²=2px（p＞0）…（3分）
∴所求動圓圓心的軌跡C的方程是：y²=2px（p＞0）…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π），且x₁≠0，x₂≠0，
所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，
顯然．即，…（6分）
把y=kx+b代入y²=2px：得ky²-2py+2pb=0，
由韋達定理知，①…（8分）
由得：
把①代入上式，整理化簡，得：1=，∴b=2p+2pk，…（11分）
此時，直線AB的方程可表示為：y=kx+2p+2pk，即k（x+2p）-（y-2p）=0…（13分）
∴直線AB恒過定點（-2p，2p）．…（14分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．