Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2處取得極小值-

4

3

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若

1

3

x3+ax+b≤m2+m+

10

3

對x∈[-4，3]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=x²+a，由f′（2）=0得a=-4
由f(2)=-

4

3

得b=4則f(x)=

1

3

x3-4x+4，令f′（x）=x²-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由f(-4)=-

4

3

，f(-2)=

28

3

，f(2)=-

4

3

，f(3)=1
則

28

3

≤m2+m+

10

3

f(x)的最大值為

28

3

，
要使

1

3

x3+ax+b≤m2+m+

10

3

對x∈[-4，3]恒成立，只要f(x)max≤m2+m+

10

3

就可以了，
即

28

3

≤m2+m+

10

3

得m≥3或m≤-2
所以實數(shù)m的取值范圍是m≥3或m≤-2