Question

已知凼數(shù)f（x）=

x2+1

bx+c

是奇凼數(shù)，且f（1）=2，
（1）求f（x）的解析式
（2）判斷凼數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)得到f（-x）=-f（x），建立方程關(guān)系即可求f（x）的解析式
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷凼數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即

x2+1

-bx+c

=-

x2+1

bx+c

，
即-bx+c=-bx-c，則c=-c，解得c=0，
∵f（1）=2，
∴f（1）=

1+1

b

=

2

b

=2，解得b=1，
故f（x）=

x2+1

x

．
（2）∵f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，
函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)+

x2-x1

x1?x2

=(x1-x2)?

x1x2-1

x1?x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)?

x1x2-1

x1x2

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上的單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．