Question

【題目】已知點(diǎn)，圓．

（）設(shè)，求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程．

（）設(shè)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的方程．

（）設(shè)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，求被圓截得的線(xiàn)段的最短長(zhǎng)度，并求此時(shí)的方程．

Answer 1

【答案】（1）切線(xiàn)方程為或；（2）直線(xiàn)的方程為或；（3）方程為即.

【解析】試題分析：（1）已知直線(xiàn)上一點(diǎn)，設(shè)出直線(xiàn)方程，點(diǎn)斜式，再根據(jù)直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，，解得，求得方程。（2）根據(jù)垂徑定理，即圓心到直線(xiàn)的距離為，得到結(jié)果。（3）首先要分析出來(lái)線(xiàn)段最短時(shí)直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系：，故當(dāng)時(shí)，，再根據(jù)垂徑定理得到直線(xiàn)的斜率。

（）解：如圖所示，此時(shí)，

設(shè)切線(xiàn)為或，

驗(yàn)證知與題意相符；

當(dāng)切線(xiàn)為，即時(shí)，

圓心到切線(xiàn)的距離

，解得，

所以，切線(xiàn)方程為或．

（）如圖所示，此時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)為或（舍），

設(shè)弦的中點(diǎn)為，則，，

所以，即圓心到直線(xiàn)的距離為，

于是，解得或，

所以，直線(xiàn)的方程為或．

（）如圖所示，此時(shí)，

設(shè)所截得的線(xiàn)段為，圓心到直線(xiàn)的距離為，則

，

即，因?yàn)橹本�(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

所以圓心到直線(xiàn)的距離為

，故當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，

故直線(xiàn)方程為，即．