Question

已知f_n(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,f_n(-1)=(-1)ⁿ·n，n=1,2,3,….

（1）求a₁、a₂、a₃；

（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（3）求證：f_n()＜1.

Answer 1

（1）解：由已知f₁(-1)=-a₁=-1,∴a₁=1.

f₂(-1)=-a₁+a₂=2,∴a₂=3.

f₃(-1)=-a₁+a₂-a₃=-3,∴a₃=5.

（2）解:∵(-1)ⁿ⁺¹·a_n+1=f_n+1(-1)-f_n(-1)=(-1)ⁿ⁺¹·(n+1)-(-1)ⁿ·n,

∴a_n+1=(n+1)+n,即a_n+1=2n+1.∴對(duì)于任意的n=1,2,3,…,a_n=2n-1.

（3）證明:f_n(x)=x+3x²+5x³+…+(2n-1)xⁿ,

∴f_n()=+3()²+5()³+…+(2n-1)()ⁿ.①

·f_n()=()²+3()³+5()⁴+…+(2n-1)()ⁿ⁺¹.②

①-②,得f_n()=+2()²+2()³+…+2()ⁿ-(2n-1)()ⁿ⁺¹

=+-(2n-1)()ⁿ⁺¹=()ⁿ.∴f_n()=1.

又n=1,2,3,…,故f_n()＜1.