Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-x+lnx．
（I）求函數f（x）圖象上所有點處的切線的傾斜角范圍；
（II）若F（x）=f（x）-ax，a∈R，討論F（x）的單調性．

Answer 1

分析：（I）先求函數f（x）的導函數f′（x），再利用均值定理求導函數的值域即切線斜率的取值范圍，最后由斜率定義及正切函數圖象求得切線的傾斜角范圍
（II））先求函數F（x）的導函數F′（x），再將求函數單調區(qū)間問題轉化為解含參數的一元二次不等式問題，通過分類討論即可解決問題

解答：解：（I）函數的定義域為（0，+∞），f′（x）=x+

1

x

-1≥2

x× 1 x

-1=1  （當且僅當x=1時取等號）
∴函數f（x）圖象上所有點處的切線的斜率k≥1
∴切線的傾斜角θ滿足tanθ≥1，θ∈[0，π）
∴θ∈[

π

4

，

π

2

）
（II）F（x）=f（x）-ax=

1

2

x2-(a+1)x+lnx，
∴F′（x）=x+

1

x

-（a+1）=

x2-(a+1)x+1

x

  （x＞0）
令g（x）=x²-（a+1）x+1 （x＞0）
△=（a+1）²-4=（a+3）（a-1）
∴當a＜-3時，△＞0，方程g（x）=0的兩實根為x₁=

a+1+ (a+1)2-4

2

＜0，x₂=

a+1- (a+1)2-4

2

＜0
∴x＞0時，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上單調遞增
當a＞1時，△＞0，方程g（x）=0的兩實根為x₁=

a+1+ (a+1)2-4

2

＞0，x₂=

a+1- (a+1)2-4

2

＞0且x₁＞x₂
∴F（x）在（0，

a+1- (a+1)2-4

2

），（

a+1+ (a+1)2-4

2

，+∞）上單調遞增，在（

a+1- (a+1)2-4

2

，

a+1+ (a+1)2-4

2

）上單調遞減．
當-3≤a≤1時，△≤0，g′（x）≥0，∴F（x）在（0，+∞）上單調遞增
綜上所述：a≤1時，F（x）在（0，+∞）上單調遞增
當a＞1時，F（x）在（0，

a+1- (a+1)2-4

2

），（

a+1+ (a+1)2-4

2

，+∞）上單調遞增，在（

a+1- (a+1)2-4

2

，

a+1+ (a+1)2-4

2

）上單調遞減．

點評：本題考查了導數的運算和導數的幾何意義，利用導數求函數的單調區(qū)間的方法，分類討論的思想方法，轉化化歸的思想方法