Question

如圖所示，三棱柱ABC﹣A₁B₁C_l中，AB=AC=AA₁=2，面ABC₁⊥面AA_lC_lC，∠AA_lC_l=
∠BAC₁=60⁰，AC₁與A₁C相交于0．
（1）求證．BO⊥面AA_lC_lC；
（2）求三棱錐C₁﹣ABC的體積；
（3）求二面角A₁﹣B₁C₁﹣A的余弦值．

Answer 1

證明：（1）由題意得四邊形AA₁C₁C為菱形，又∠AA_lC_l=60⁰，
∴△AA_lC_l為正三角形，即AC₁=AA₁，
又∵AB=AA₁，∴AC₁=AB，
又∠BAC₁=60⁰，∴△BA_lC_l為正三角形，
又∵O為AC₁的中點(diǎn)
∴BO⊥AC₁，
又面面ABC₁⊥面AA_lC_lC，
∴BO⊥面AA_lCC                              
（2）由（1）得
（3）（法一）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系如圖，
則
∴平面A₁B₁C₁的一個(gè)法向量為，
平面B₁C₁A的一個(gè)法向量為
設(shè)二面角A₁﹣B₁C₁﹣A的平面角為θ，
則
（法二）連接AB₁交A₁B與F，
易得C₁O⊥A₁F，AB₁⊥A₁F
∴A₁F⊥平面B₁C₁A，又C₁O⊥OF，
作FG∥C₁O交B₁C₁于G，
連接A₁G得FG⊥B₁C₁，A₁G⊥B₁C₁
則∠A₁GF即為二面角A﹣B₁C₁﹣A₁易得FG=1，
，
故
cos∠A₁GF=