Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，短軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）P（2，3），Q（2．-3）是橢圓C上兩個定點，A、B是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)的動點．當A、B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ的斜率是否為定值，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程，利用離心率為，短軸長為4，求出幾何量，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線方程代入橢圓方程，確定x₁+x₂，x₁-x₂，即可求得斜率．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0）．
由已知b=2，離心率e==，a²=b²+c²，得a=4，
所以，橢圓C的方程為；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∠APQ=∠BPQ時，PA，PB的斜率之和為0
設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，
則PA的直線方程為y-3=k（x-2）代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0
∴
同理
∴x₁+x₂=，x₁-x₂=
∴
∴直線AB的斜率為定值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．