Question

已知函數(shù)f（x）=
（1）當x≥1時，證明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=，a_n+1=f（a_n），b_n=，n∈N⁺，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{b_n}、{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），證明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜

Answer 1

【答案】分析：（1）因為x≥1，求出f（x）-x得到其小于等于0，得到lnx大于等于0，所以當x≥1時，f（x）≤x+lnx恒成立；
（2）把a_n代入到f（x）中化簡得到a_n與b_n的通項公式即可；
（3）根據(jù)a_n與b_n的通項公式和c_n=a_n•a_n+1•b_n+1得到c_n的通項公式，化簡得到c₁+c₂+c₃+…c_n＜即可．
解答：解：（1）∵x≥1得f（x）-x=-x==≤0，
而x≥1時，lnx≥0
∵x≥1時，f（x）-x≤lnx
∴當x≥1時，f（x）≤x+lnx恒成立
（2）a₁=，a_n+1=f（a_n），b_n=-1，n∈N⁺∴a_n+1=得=+
∴a₁=，a_n+1=f（a_n），b_n=-1，n∈N⁺
∴====（n∈N⁺）
又b₁=-1=∴{b_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，其通項公式為b_n=
又a₁=，a_n+1=f（a_n），b_n=-1，n∈N⁺
∴a_n===（n∈N⁺）
（3）c_n=a_n•a_n+1•b_n+1=××=×=-
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=（-）+（-）+…+（-）=-＜
點評：考查學(xué)生掌握數(shù)列求和及數(shù)列遞推式的能力，理解函數(shù)恒成立時取條件的能力．