Question

14．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=$\frac{π}{2}$，E、F依次為CC₁和BC的中點：
（1）異面直線A₁B與EF所成角的大��；
（2）點B到平面AEF的距離．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出與EF所成角的大小．
（2）求出平面AEF的法向，利用向量法能求出點B到平面AEF的距離．

解答 解：（1）以A為原點，AB為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=$\frac{π}{2}$，E、F依次為CC₁和BC的中點，
∴A₁（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（1，1，0），E（0，2，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{EF}$=（1，-1，-1），
設(shè)異面直線A₁B與EF所成角為θ，
則cosθ=|coc＜$\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{EF}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴異面直線A₁B與EF所成角為arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{AF}$=（1，1，0），
設(shè)平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∴點B到平面AEF的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．