Question

18．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P．過F作x軸的垂線交拋物線于M、N兩點(diǎn)．
有下列四個(gè)命題：①△PMN必為直角三角形； ②△PMN不一定為直角三角形；③直線PM必與拋物線相切； 
④直線PM不一定與拋物線相切．其中正確的命題是①③，（填序號）

Answer 1

分析 本題考查拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的有關(guān)知識，先由拋物線方程求出M，N的坐標(biāo)，然后判斷△PMN是否為為直角三角形，求出直線PM的方程，然后判斷是否相切．

解答 解：拋物線方程為y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{p}{2}$，0），可求出點(diǎn)M（$\frac{p}{2}$，p），N（$\frac{p}{2}$，-p），
∴|PF|=$\frac{1}{2}$，|MN|=p，∴∠MPN=90°，故①正確，②不正確；
聯(lián)立直線PM方程與拋物線方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得x²-px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，其判別式△=0．
∴直線PM必與拋物線相切，故③正確，④不正確．
綜上①③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評 本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的簡單性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求出M，N坐標(biāo)，是中檔題．