Question

12．若函數(shù)y=lnx-$\frac{a}{2}$x²在區(qū)間（${\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，a的取值范圍為（-∞，0]．

Answer 1

分析 先求y′=$\frac{1-a{x}^{2}}{x}$，所以根據(jù)題意便有1-ax²≥0在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上恒成立，所以討論a的取值：顯然a=0時(shí)滿足條件；a≠0時(shí)，可結(jié)合二次函數(shù)的圖象即拋物線來對a的取值進(jìn)行判斷．

解答 解：y′=$\frac{1}{x}-ax=\frac{1-a{x}^{2}}{x}$；
∵原函數(shù)在$（\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$上是增函數(shù)；
y′≥0在（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）上恒成立，x＞0；
∴1-ax²≥0在（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）上恒成立；
（1）若a=0，1≥0恒成立；
（2）若a＜0，△=4a＜0，所以滿足1-ax²≥0在（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）上恒成立；
（3）若a＞0，拋物線1-ax²開口向下，顯然不滿足在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上1-ax²≥0恒成立；
∴綜上得a的取值范圍為（-∞，0]．
故答案為：（-∞，0]．

點(diǎn)評 考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，判別式△的取值和二次函數(shù)值的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象即拋物線．