Question

已知P為雙曲線(a＞0,b＞0)上的任意一點(diǎn),過P分別作雙曲線的漸近線的平行線,分別與漸近線交于M、N兩點(diǎn),求證:|PM|·|PN|=c²(c為雙曲線的半焦距).

Answer 1

解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x₀,y₀),P到兩漸近線的距離分別為h₁與h₂,則h₁=

∴

設(shè)∠MON=α(焦點(diǎn)在角內(nèi)部),

則h₁·h₂=|PM|·|PN|·sin²α.

由,得

∴|PM|·|PN|=

綠色通道：

直接求|PM|·|PN|很困難,但通過觀察圖形我們發(fā)現(xiàn),由于PN∥l₂,∠PMO與兩漸近線所夾的角存在等量關(guān)系,因此,我們可求出P到兩漸近線l₁、l₂的距離h₁與h₂的積,然后再通過h₁與h₂和|PM|與|PN|之間的關(guān)系轉(zhuǎn)而求|PM|·|PN|的值.