Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{\frac{{2x}^{3}}{x+1}，x∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=ax-$\frac{a}{2}$+3（a＞0），若對(duì)任意x₁∈[0，1]，總存在x₂$∈[0，\frac{1}{2}]$，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，4]
• B． （-∞，6]
• C． [-4，+∞）
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)一次函數(shù)，以及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）與g（x）的值域，根據(jù)恒成立關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的值域問(wèn)題，進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x≤1時(shí)，f（x）=$\frac{2{x}^{3}}{x+1}$，則f′（x）=$\frac{2{x}^{2}（2x+3）}{（x+1）^{2}}$＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
則f（$\frac{1}{2}$）＜f（x）≤f（1），
即$\frac{1}{6}$＜f（x）≤1，
當(dāng)0≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{x}{3}$為增函數(shù)，
則0≤f（x）≤$\frac{1}{6}$，
綜上所述，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，0≤f（x）≤1，
當(dāng)x₂$∈[0，\frac{1}{2}]$，g（0）≤g（x）≤g（$\frac{1}{2}$），
即3-$\frac{a}{2}$≤g（x）≤3，
若對(duì)任意x₁∈[0，1]，總存在x₂$∈[0，\frac{1}{2}]$，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則[0，1]⊆[3-$\frac{a}{2}$，3]，則3-$\frac{a}{2}$≤0，即$\frac{a}{2}$≥3，
則a≥6，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[6，+∞），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，根據(jù)條件建立值域之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生是運(yùn)算和推理能力．