Question

6．如圖，半圓O的直徑為2，點A為直徑延長線上的一點，OA=2，點B為半圓上任意一點作正△ABC，問：點B在什么位置上時，四邊形OACB的面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

分析 設(shè)∠AOB=θ，AB=x，則由余弦定理求得 x²=5-4cosθ．再利用兩角和差的正弦公式化簡S_OACB =S_△AOB+S_△ABC 的解析式，從而求得S_OACB的面積取得最大值．

解答 解：設(shè)∠AOB=θ，則S_OACB =S_△AOB+S_△ABC．
設(shè)AB=x，則x²=OB²+OA²-2OB•OAcosθ=1²+2²-2×1×2•cosθ=5-4cosθ．
故 S_OACB=S_△AOB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×2•sinθ+$\frac{1}{2}•x•x•sin\frac{π}{3}$=sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（θ-$\frac{π}{3}$），
∴當2sin（θ-$\frac{π}{3}$）=1，即θ=$\frac{5π}{6}$時，四邊形OACB的面積取得最大值，并且最大值是$\frac{5\sqrt{3}}{4}+2$．

點評 本題主要余弦定理的應(yīng)用，兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．