Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x-4acosx，
（1）當a=1時，求函數(shù)的最小值；
（2）若f（x）的最小值為時，求a的值．

Answer 1

解：（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=sin²x-4cosx=1-cos²x-4cosx=-（cosx+2）²+5，
令t=cosx，由于，∴t∈[0，1]．
故有f（x）=g（t）=-（t+2）²+5，由于g（t）在[0，1]上是減函數(shù)，故g（t）的最小值為g（1）=-4．
（2）由于函數(shù)g（t）=-t²-4at+1的對稱軸為t=-2a，t∈[0，1]，區(qū)間的中點為，
當-2a≤ 時，函數(shù)g（t）=-t²-4at+1的最小值為 g（1）=-4a=-，解得 a=．
當-2a＞ 時，函數(shù)g（t）=-t²-4at+1的最小值為 g（0）=1≠-，不滿足條件．
綜上可得，a=．
分析：（1）當a=1時，令t=cosx，由于，可得 t∈[0，1]，f（x）=g（t）=-（t+2）²+5，利用函數(shù)的單調(diào)性
求得g（t）的最小值．
（2）由于函數(shù)g（t）=-t²-4at+1的對稱軸為t=-2a，t∈[0，1]，區(qū)間的中點為，分-2a≤ 以及-2a＞ 兩種情況，
分別根據(jù)最小值為-，求得 a的值．
點評：本題主要考查復合三角函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．