Question

8．已知a，b均為正數(shù)，且a²+$\frac{1}{4}$b²=1，則a$\sqrt{1+^{2}}$的最大值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 得到4a²+b²=4，根據(jù)不等式的性質(zhì)通過放大不等式求出最大值即可．

解答 解：∵a，b均為正數(shù)，且a²+$\frac{1}{4}$b²=1，
∴4a²+b²=4，
∴a$\sqrt{1+^{2}}$=$\frac{1}{2}$•2a•$\sqrt{1{+b}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$•$\frac{{4a}^{2}+1{+b}^{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)4a²=b²+1即a=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時“=”成立，
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．