Question

已知 ().

（1）當(dāng)時(shí),判斷在定義域上的單調(diào)性；

（2）若在上的最小值為,求的值；

（3）若在上恒成立，試求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)遞增  （2）   （3）

【解析】

試題分析：（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性常用作差比較法、導(dǎo)函數(shù)法.其共同點(diǎn)都是與0比大小確定單調(diào)性.也可以利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102723221023586077/SYS201310272322475176123520_DA.files/image004.png">與在上都是單調(diào)遞增，所以 （）在定義域上單調(diào)遞增；（2）利用導(dǎo)函數(shù)法求閉區(qū)間上的最值，首先要求出極值，然后再與兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值比較得出最值；既要靈活利用單調(diào)性，又要注意對(duì)字母系數(shù)進(jìn)行討論；（3）解決“恒成立”問(wèn)題，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求新構(gòu)造函數(shù)的最值（或值域）.

試題解析：(1)由題意得，且                                       1分

顯然，當(dāng)時(shí)，恒成立，在定義域上單調(diào)遞增；                3分

(2)當(dāng)時(shí)由（1）得在定義域上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，

即（與矛盾，舍）；                          5分

當(dāng)，顯然在上單調(diào)遞增，最小值為0，不合題意；            6分

當(dāng)，，

若（舍）；

若（滿足題意）；

（舍）；                    9分

綜上所述．                                                         10分

(3)若在上恒成立，即在上恒成立,(分離參數(shù)求解)

等價(jià)于在恒成立，

令.   則；                    11分

令，則

顯然當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減,,

即恒成立,說(shuō)明在單調(diào)遞減,；             13分

所以.                                                                  14分

考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性  2.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用