Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù) (R)．

(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當(dāng)時(shí)，， 

 ∴  

       令=0, 得        …… 2分 

當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),, 在上單調(diào)遞增     …… 4分   

∴ 當(dāng)時(shí), 取得極大值為;

當(dāng)時(shí), 取得極小值為  ……………6分

 

（2） ∵ = ，    ∴△= =   

① 若a≥1，則△≤0              …… 7分

∴≥0在R上恒成立，         ∴ f（x）在R上單調(diào)遞增                                                 

∵f（0），

∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．    …… 9分 

② 若a＜1，則△＞0，  ∴= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x₁，x₂，（x₁<x₂）

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a

當(dāng)變化時(shí)，的取值情況如下表：

∵          ∴             …… 11分

∴

       

同理

∴

.

          令f（x₁）·f（x₂）＞0,  解得a＞ 

          而當(dāng)時(shí),

          故當(dāng)時(shí), 函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn). …… 13分                            

綜上所述，a的取值范圍是      …………………………………… 14分

 

【解析】略