Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的中點．
（1）求證：A₁B₁∥平面ABE；
（2）若正方體的棱長為1，求三棱錐B₁-ABE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由A₁B₁∥AB，能證明A₁B₁∥平面ABE．
（2）由VB1-ABE=VA-BEB1，利用等積法能求出三棱錐B₁-ABE的體積．

解答： （1）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁B₁∥AB，AB?平面ABE，A₁B₁不包含于平面ABE，
∴A₁B₁∥平面ABE．
（2）解：∵正方體的棱長為1，
∴三棱錐B₁-ABE的體積：
VB1-ABE=VA-BEB1
=

1

3

S△BEB1•AB
=

1

3

（1-S_△BCE-S△BEC1）×1
=

1

3

(1-

1

2

×

1

2

×1-

1

2

×

1

2

×1)
=

1

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的求法．