Question

已知f（x）=x³-kx²+x-5在R上單調遞增，記△ABC的三內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且a²+c²≥b²+ac
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）求角B的取值范圍；
（3）若不等式f[m+sin²B+cos（A+C）]＜f（2

m

+

33

4

）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f（x）=x³-kx²+x-5在R上單調遞增轉化成f′（x）≥0對于x∈R恒成立，再進一步計算；
（2）由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

，得cosB≥

1

2

，從而求解；
（3）根據(jù)f（x）的單調性，得到m+sin²B+cos（A+C）＜2

m

，結合著三角形中，cos（A+C）=-cosB，化簡為m-2

m

-

33

4

＜cos2B+cosB-1，只需要m-2

m

-

33

4

＜（cos²B+cosB-1）_min，再通過計算即可．

解答： （1）∵f（x）=x³-kx²+x-5在R上單調遞增，
∴f′（x）=3x²-2kx+1≥0對于x∈R恒成立．
即△=（-2k）²-3×4≤0，
∴-

3

≤k≤

3

．
（2）∵a²+c²≥b²+ac，
∴a²+c²-b²≥ac，
由余弦定理得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

ac

2ac

≥

1

2

，
∴0＜B≤

π

3

．
（3））∵f（x）=x³-kx²+x-5在R上單調遞增，
∴m+sin²B+cos（A+C）＜2

m

+

33

4

，又cos（A+C）=-cosB，
∴m-2

m

-

33

4

＜-sin2B+cosB，
又-sin²B+cosB=cos²B+cosB-1=(cosB+

1

2

)2-

5

4

，
∵

1

2

≤cosB＜1，∴(cosB+

1

2

)2-

5

4

≥-

1

4

∴m-2

m

-

33

4

＜-

1

4

，且m≥0，
計算得，m∈[0，16）．

點評：本題是解三角形和函數(shù)知識的結合，屬于常規(guī)題，題目中涉及到的知識點有用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，余弦定理，三角函數(shù)的相關性質等等．只要熟知基本知識點，在處理的過程中就沒有什么困難．需要提醒的是在計算（cos²B+cosB-1）_min時，注意結合著三角形中角B的范圍，以避免出錯．