Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點。

（1）求直線A₁C與平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求證：平面AB₁D₁∥平面EFG。

Answer 1

（1）解：∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，
∴∠A₁CA為A₁C與平面ABCD所成角，
又正方體的棱長為a，
∴AC=，A₁C=，
∴。
（2）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連接BD，DD₁∥B₁B，DD₁=B₁B，
∴DD₁B₁B為平行四邊形，
∴D₁B₁∥DB，
∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，
∴EF∥BD，
∴EF∥D₁B₁， 
∵EF平面GEF，D₁B₁平面GEF，
∴D₁B₁∥平面GEF，
同理AB₁∥平面GEF，
∵D₁B₁∩AB₁=B₁，
∴平面AB₁D₁∥平面EFG。