Question

19．已知點A（2，2）及圓C：x²+y²+4x-8y+4=0．
（Ⅰ）若直線l過點A且被圓C截得的線段長為4$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（Ⅱ）由圓C外一點P（a，b）向圓C引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|，求線段PQ長的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若直線l過點A且被圓C截得的線段長為4$\sqrt{3}$，直線l與圓心的距離為2，利用點到直線的距離公式求出k，即可求直線l的方程；
（Ⅱ）求出P的坐標(biāo)之間的關(guān)系，表示出線段PQ長，利用配方法可求PQ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）圓C：x²+y²+4x-8y+4=0可化為（x+2）²+（y-4）²=16，圓心坐標(biāo)為（-2，4），半徑為4
∵直線ι被圓C截得的線段長為4$\sqrt{3}$，∴直線l與圓心的距離為2，
直線斜率存在，設(shè)l的斜率是k，設(shè)直線l：y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0；
∵直線l與圓C的圓心相距為2，∴d=$\frac{|-2k-4-2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=0或-$\frac{4}{3}$，
此時直線的方程為y=2或4x+3y-14=0；
（Ⅱ）連結(jié)CP，∵Q為切點，∴PQ⊥CQ，
由勾股定理有：|PQ|²=|CP|²-|CQ|²．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|²=|PA|²．
即：（a+2）²+（b-4）²-4²=（a-2）²+（b-2）²，
化簡得實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：2a-b-1=0，即b=2a-1．
∴|PQ|=$\sqrt{（a-2）^{2}+（b-2）^{2}}$=$\sqrt{5（a-\frac{8}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$，
故當(dāng)a=$\frac{1}{5}$時，線段PQ長的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．