Question

函數(shù)f（n）=

n2+a

n

（n∈N*）為增函數(shù)，則a的范圍為

（-∞，2）

．

Answer 1

分析：考慮到函數(shù)的定義域為正整數(shù)，所以函數(shù)為增函數(shù)即f（n+1）-f（n）＞0，在正整數(shù)范圍內(nèi)總能成立，由此將這個差變形得到a＜n（n+1）對任意的n∈N^*成立，從而得出實數(shù)a的范圍．

解答：解：函數(shù)f（n）=

n2+a

n

的定義域為N^*，說明對任意的n∈N^*
f（n+1）-f（n）＞0，總能成立，
所以

(n+1)2+a

n+1

-

n2+a

n

＞0對任意的n∈N^*成立
得到：1＞a(

1

n

-

1

n+1

)
∵

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

＞0
∴a＜n（n+1）對任意的n∈N^*成立
而n（n+1）的最小值是2
故a的范圍為a＜2
故答案為：（-∞，2）

點評：本題考查了定義在正整數(shù)上的函數(shù)單調(diào)增的知識點，屬于中檔題．抓住函數(shù)的定義域為正整數(shù)，利用作差解決是本題的關(guān)鍵所在．