Question

18．已知拋物線C：y²=ax（a＞0）的焦點為F，過焦點F和點P（0，1）的射線FP與拋物線相交于點M，與其準(zhǔn)線相交于點N，若|FM|：|MN|=1：3，則a=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的拋物線的焦點坐標(biāo)，由丨MF丨=丨MK丨，則丨KN丨：丨KM丨=2$\sqrt{2}$：1，根據(jù)直線的斜率公式，即可求得a的值．

解答 解：由拋物線拋物線C：y²=ax，焦點F（$\frac{a}{4}$，0），設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為K，
由拋物線的定義丨MF丨=丨MK丨，
由|FM|：|MN|=1：3，則|KM|：|MN|=1：3，
∴丨KN丨：丨KM丨=2$\sqrt{2}$：1，
則k_FN=$\frac{0-1}{\frac{a}{4}-0}$=$\frac{-4}{a}$，k_FN=-$\frac{丨KN丨}{丨KM丨}$=-2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{-4}{a}$=-2$\sqrt{2}$，解得：a=$\sqrt{2}$，
∴a的值$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，拋物線的定義，考查直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．