Question

11．過(guò)拋物線y²=2x焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=5
（1）求線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\frac{1}{2}$），代入拋物線y²=2x，利用x₁+x₂=4，求出k，即可求直線AB的方程．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵F是拋物線y²=2x的焦點(diǎn)F（$\frac{1}{2}$，0），準(zhǔn)線方程x=-$\frac{1}{2}$，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x₁+$\frac{1}{2}$+x₂+$\frac{1}{2}$=5
解得x₁+x₂=4，
∴線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\frac{1}{2}$），
代入拋物線y²=2x，可得k²x²-（k²+2）x+$\frac{{k}^{2}}{4}$=0
∴x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$=4，
∴k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴直線AB的方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$（x-$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離．