Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A（0，﹣3），點M滿足|MA|＝2|MO|.

（1）求點M的軌跡方程；

（2）若圓C：（x﹣c）2+（y﹣c+1）2＝1，判斷圓C上是否存在符合題意的M；

（3）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）是點M軌跡上的兩個動點，點P關(guān)于點（0，1）的對稱點為P1，點P關(guān)于直線y＝1的對稱點為P2，如果直線QP1，QP2與y軸分別交于（0，a）和（0，b），問（a﹣1）（b﹣1）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）x2+（y﹣1）2＝4（2）存在（3）是定值，定值為

【解析】

（1）設(shè)，由代入可求的軌跡方程；（2）由已知可得圓心，圓與的軌跡有公共點，則可求的范圍；（3）設(shè)，，可求，，進而可求，的表達式，即可求解.

（1）設(shè)M（x，y），由|MA|＝2|MO|可得x2+（y+3）2＝4（x2+y2）

化簡可得M的軌跡方程為x2+（y﹣1）2＝4

（2）由已知可得圓心C（c，c﹣1），

若圓C與M的軌跡有公共點，則

解可得：

即時存在滿足條件的M.

（3）∵P（x1，y1），

∴P1（﹣x1，2﹣y1），P2（x1，2﹣y1），

由題意可得，直線QP1，QP2的斜率一定存在且不為0，否則a或b不存在

∴QP1：y﹣y2，

∴，b

∴（a﹣1）（b﹣1）（1）

∵，.

∴（a﹣1）（b﹣1）4.