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已知函數(shù).
（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設，求在上的最大值；
（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）在上的最大值為；
（3）證明過程詳見試題解析.

解析試題分析：（1）先對函數(shù)求導，令導函數(shù)為0，即可求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （2）結合函數(shù)的單調(diào)性，分時，時，三種情況進行討論，即可求在上的最大值；(3) 把證明過程轉化為恒成立問題即可.
試題解析：（1）解：（1）函數(shù)的定義域是．由已知．令，得．
因為當時，；當時，．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）可知當，即時，在上單調(diào)遞增，所以．
當時，在上單調(diào)遞減，所以．當，即時，．綜上所述，
（3）由（1）知當時．所以在時恒有，即，當且僅當時等號成立．因此對任意恒有．因為，，所以，即．因此對任意，不等式．
考點：導函數(shù)的應用、最值問題、恒成立問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為．現(xiàn)已知相距18的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和．設（）．
（1）試將表示為的函數(shù)； （2）若，且時，取得最小值，試求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

一個如圖所示的不規(guī)則形鐵片，其缺口邊界是口寬4分米，深2分米（頂點至兩端點所在直線的距離）的拋物線形的一部分，現(xiàn)要將其缺口邊界裁剪為等腰梯形．
（1）若保持其缺口寬度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值；
（2）若保持其缺口深度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
(1)若直線與的反函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)k的值;
(2)設，討論曲線與曲線公共點的個數(shù);
(3)設，比較與的大小，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在上恒成立，求所有實數(shù)的值；
（3）對任意的，證明：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知曲線 y = x3 + x－2 在點 P0 處的切線  平行于直線
4x－y－1=0，且點 P0 在第三象限,
⑴求P0的坐標;
⑵若直線  , 且 l 也過切點P0 ,求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)R）.
（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；
（2）在（1）條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）當，且時，證明：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

二次函數(shù)，它的導函數(shù)的圖象與直線平行.
（1）求的解析式；
（2）若函數(shù)的圖象與直線有三個公共點，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；
（2）當時，若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）設，在（1）的條件下，證明當時，對任意兩個不相等的正數(shù)、，有.

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