Question

10．已知函數(shù)f₁（x）=-x²+ax+b有一個(gè)零點(diǎn)x=-1，函數(shù)f₂（x）=x²+cx+d有一個(gè)零點(diǎn)x=2，若函數(shù)f（x）=f₁（x）•f₂（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 利用穿根法，圖象的對(duì)稱性求出函數(shù)f（x）的另外兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而確定a，b，c，d的值，再求函數(shù)f（x）的最大值．

解答 解：依題意，函數(shù)f（x）=f₁（x）•f₂（x）的另外兩個(gè)零點(diǎn)為x=0和x=3，
函數(shù)f₁（x）=-x²+ax+b的零點(diǎn)x=-1和x=0，
∴a=-1，b=0．
函數(shù)f₂（x）=x²+cx+d的零點(diǎn)x=2和x=3，
∴c=-5，d=6．
∴函數(shù)f（x）=f₁（x）•f₂（x）=）=（-x²-x）（x²-5x+6），
∴f'（x）=-2（x-1）（2x²-4x-3），
令f'（x）=0解得x=1或x=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，或x=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
又∵函數(shù)f（x）=f₁（x）•f₂（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）的最大值為f（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$）=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，利用對(duì)稱性確定最值的思想方法．