Question

12．已知直線2x-y-2=0與x、y軸分別交A、B兩點，點P在拋物線y=4x²上，試求△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 通過三角形的面積公式可知當點P到直線AB的距離最小時面積最小，求出與直線2x-y-2=0平行且為拋物線的切線的直線方程，進而利用兩直線間的距離公式及面積公式計算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，A（1，0），B（0，-2），
設與直線2x-y-2=0平行且與拋物線相切的直線l方程為：2x-y-t=0，
聯(lián)立直線l與拋物線方程，消去y得：4x²-2x+t=0，
則△=4-16t=0，即t=$\frac{1}{4}$，
∵直線2x-y-2=0與直線l之間的距離d=$\frac{2-\frac{1}{4}}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{20}$，
∴S_min=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+4}$•$\frac{7\sqrt{5}}{20}$=$\frac{7}{8}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．