Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD=CD，DB平分∠ADC，E為PC的中點．
（Ⅰ）證明：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）證明：AC⊥平面PBD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）設AC∩BD=H，連結EH．證明EH∥PA．利用直線與平面的平行的判定定理證明PA∥平面BDE．
（Ⅱ）通過PD⊥平面ABCD，證明PD⊥AC．結合DB⊥AC．然后證明AC⊥平面PBD

解答： （Ⅰ）證明：設AC∩BD=H，連結EH．
在△ADC中，∵AD=CD，且DB平分∠ADC，
∴H為AC的中點．
又由題設，E為PC的中點，故EH∥PA．
又EH⊆平面BDE，且PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD，∴PD⊥AC．
由（1）可得，DB⊥AC．
又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD．…（12分）

點評：本題考查直線與平面的平行的判定定理以及在與平面垂直的判定定理的應用，考查邏輯推理能力．