Question

13．如圖所示，在四邊形ABCP中，線段AP與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，已知AB=AC且A，B，C，P四點(diǎn)共圓．
（1）求證：AC•DP=BD•PC
（2）若△ABC是面積為4$\sqrt{3}$的等邊三角形，求AP•AD的值．

Answer 1

分析 （1）證明△DPC∽△DBA，所以$\frac{PC}{AB}$=$\frac{PD}{BD}$，利用AB=AC，可得結(jié)論；
（2）求出AC=4，證明△APC∽△ACD，所以$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，所以AP•AD=AC²=16．

解答 （1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C，P四點(diǎn)共圓，所以∠ABC+∠APC=180°，
因?yàn)椤螪PC+∠APC=180°，所以∠DPC=∠ABC，
因?yàn)椤螪=∠D，所以△DPC∽△DBA，所以$\frac{PC}{AB}$=$\frac{PD}{BD}$，
因?yàn)锳B=AC，所以$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PD}{BD}$．即AC•DP=BD•PC  …（5分）
（2）解：因?yàn)椤鰽BC是面積為4$\sqrt{3}$的等邊三角形，
所以AB=AC=4，
因?yàn)锳B=AC，所以∠ACB=∠ABC，
又∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD+∠ABC=180°．
由于∠ABC+∠APC=180°，所以∠ACD=∠APC，
又∠CAP=∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，所以AP•AD=AC²=16．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)：四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)．屬于中檔題．