Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

（x-a）²+lnx（a為常數(shù)）．
（1）若函數(shù)在x=1處的切線斜率為2，求該切線的方程；
（2）當x∈（1，3）時，f（x）＞x+

1

2

a2-a-

1

2

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）若函數(shù)在x=1處的切線斜率為2，求該切線的方程；
（2）構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)和最值之間的關系即可得到結論．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），則函數(shù)的導數(shù)f′（x）=x-a+

1

x

，
若函數(shù)在x=1處的切線斜率為2，
則f′（1）=2，即1-a+1=2，即a=0，
又f（1）=

1

2

，
則該切線的方程為y-

1

2

=2(x-1)，
即4x-2y-3=0；
（2）令g（x）=f（x）-x-（

1

2

a2-a-

1

2

）=

1

2

x2+lnx-(a+1)x+a+

1

2

，
則g（1）=0，g′（x）=x+

1

x

-(a+1)，
令h（x）=x+

1

x

-(a+1)，
則當x∈（1，3）時，h（x）為增函數(shù)，值域為（2，

10

3

），
①當a+1≤2，即a≤1，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在（1，3）上為增函數(shù)，則g（x）＞g（1）=0，∴a≤1成立．
②a+1≥

10

3

，即a≥

7

3

，g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在（1，3）上為減函數(shù)，則g（x）＜g（1）=0，
此時不滿足條件．
③2＜a+1＜

10

3

，即1＜a＜

7

3

時，g′（x）=0，有兩個根x₁，x₂，
其中x1=

a+1- (a-1)(a+3)

2

＜1，x2=

a+1+ (a-1)(a+3)

2

＞1，
∴g′（x）=

x2-(a+1)x+1

x

=

(x-x1)(x-x2)

x

當1＜x＜x₂時，g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在（1，x₂）上為減函數(shù)，則g（x）＜g（1）=0，不符號題意，
此時不成立，
綜上a的取值范圍為（-∞，1]．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)求函數(shù)的最值，綜合性較強，運算量較大．