Question

定義：若函數(shù)f（x）對于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x₀，有f（x₀）=x₀，則稱x₀是f（x）的一個不動點。
已知函數(shù)f（x）=ax²+(b+1)x+b-1(a≠0)。
(1) 當(dāng)a=1，b=-2時，求函數(shù)f（x）的不動點；
(2) 若對任意的實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個不動點，求a的取值范圍；
(3) 在(2)的條件下，若y=f（x）圖象上兩個點A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動點，且A、 B的中點C在函數(shù)g（x）=-x+的圖象上，求b的最小值。
（參考公式：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中點坐標(biāo)為）

Answer 1

解：（1）f（x）=x²-x-3，
由x²-x-3=0，
解得x=3或x=-1，
所以所求的不動點為-1或3。
（2）令ax²+（b+1）x+b+1=x，
則ax²+bx+b-1=0，①
由題意，方程①恒由兩個不等實根，
所以△=b²-4a（b-1）>0，
即b²-4ab+4a>0對任意的b∈R恒成立，
則△′=16a²-16a<0，故0<a<1。
（3）依題意，設(shè)，
則AB中點C的坐標(biāo)為，
又AB的中點在直線上，
∴，
∴，
又x₁，x₂是方程①的兩個根，
∴，
∴，
，
∴，
∴當(dāng)時，b_min=-1。