Question

已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為k_PM、k_PN時(shí),那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線=1寫出具有類似特征的性質(zhì),并加以證明.

Answer 1

分析：類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為k_PM、k_PN時(shí),那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.

證明:設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)為(m,n)、(x,y),則N(-m,-n).

因?yàn)辄c(diǎn)M(m,n)在已知的雙曲線上,所以n²=.同理,y²=x²-b².

則k_PM·k_PN=(定值).

綠色通道:

在數(shù)學(xué)中，我們可以由已經(jīng)解決的問題和已獲得的知識(shí)出發(fā)，通過類比從中得到啟發(fā)與靈感，從而提出新問題和找到新發(fā)現(xiàn).