Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=（3^x-1）（3^x-9）．若f（x）在[-2n，-2n+2]（n∈N^*）上的最小值為-1，則n=（　�。�

A．5

B．4

C．3

D．2

Answer 1

分析：根據(jù)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=（3^x-1）（3^x-9）=3^2x-10•3^x+9=（3^x-5）²-16，研究其最小值，再考慮當(dāng)x∈[-2，0]、x∈[-8，-6]時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論．

解答：解：①當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=（3^x-1）（3^x-9）=3^2x-10•3^x+9=（3^x-5）²-16
∵0≤x≤2，∴1≤3^x≤9，當(dāng)3^x=5，x=log₃5時(shí)，f （x）_min=-16
②當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，有x+2∈[0，2]，f（x+2）=（3^x+2-5）²-16=2f（x）   
∴f（x）=

1

2

（3^x+2-5）²-8
∵0≤x+2≤2，1≤3^x+2≤9，當(dāng)3^x+2=5，x=log₃

5

9

時(shí)，f （x）_min=-8
③當(dāng)x∈[-8，-6]，有x+8∈[0，2]，f（x+8）=（3^x+8-5）²-16 
∵函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），
f（x+4）=f（（x+2）+2）=2f（x+2）=4f（x），
f（x+8）=f（（x+4）+4）=4f（x+4）=16f（x））
∴（3^x+8-5）²-16=16f（x） 
∴f（x）=

1

16

（3^x+8-5）²-1
∵0≤x+8≤2，1≤3^x+8≤9，∴當(dāng)3^x+8=5，x=log₃5-8時(shí)，f （x）_min=-1
于是-2n=-8，∴n=4
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有一定的難度．