Question

已知函數(shù)f（x）=x^k+b（常數(shù)k，b∈R）的圖象過點(diǎn)（4，2）、（16，4）兩點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）記f（x）的反函數(shù)為g（x），解不等式g（x）+g（x-1）＜2|x-2|；
（3）記f（x）的反函數(shù)為g（x），若不等式g（x）＞ax-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將（4，2）、（16，4）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）=xk+b中，即可求出k、b的值，進(jìn)而求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)前面求得的f（x）的解析式和題中已知條件可知函數(shù)g（x）的解析式，再解不等式
（3）不等式g（x）＞ax-1恒成立等價(jià)于不等式x²＞ax-1在x∈[0，+∞）上恒成立，再進(jìn)行分類討論．

解答：解：（1）

2=4k+b 4=16k+b

⇒b=0，k=

1

2

⇒f(x)=

x

---------------（4分）
（2）g（x）=x²（x≥0）---------------（6分）g（x）+g（x-1）＜2|x-2|?

x-1≥0 x2+(x-1)2＜2|x-2

---------------（8分）⇒x∈[1，

6

2

)---------------（10分）
（3）g（x）=x²（x≥0），不等式g（x）＞ax-1恒成立等價(jià)于
不等式x²＞ax-1在x∈[0，+∞）上恒成立---------------（12分）
當(dāng)x=0時(shí)，不等式x²＞ax-1恒成立；a∈R---------------（14分）
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式a＜x+

1

x

恒成立，a＜(x+

1

x

)min=2---------------（17分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a∈（-∞，2）---------------（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的在區(qū)間上的恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，常用分離參數(shù)法．屬于中檔題