Question

如圖，橢圓C：的頂點(diǎn)為A₁，A₂，B₁，B₂，焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，|A₁B₁|=，
。

Answer 1

解：（1）由知  ①
由知a=2c  ②
又b²=a²-c²， ③
由①②③解得a²=4，b²=3
故橢圓C的方程為；
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
假設(shè)使成立的直線l存在
（i）當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點(diǎn)且得
，即
∵
∴

即x₁x₂+y₁y₂=0
將y=kx+m代人橢圓方程，得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0
由求根公式可得  ④
  ⑤



將④⑤代人上式并化簡(jiǎn)得（1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0，⑥
將m²=1+k²代入⑥并化簡(jiǎn)得-5（k²+1）=0，矛盾
即此時(shí)直線l不存在。
（ii）當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，滿足的直線l的方程為x=1或x=-1
當(dāng)x=1時(shí)，A，B，P的坐標(biāo)分別為
∴
∴
當(dāng)x=-1時(shí)，同理可得，矛盾
即此時(shí)直線l也不存在
綜上可知，使成立的直線l不存在。