Question

16．已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線x+2=0的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)x軸上一點(diǎn)Q作直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在定點(diǎn)Q使$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，點(diǎn)P到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，由拋物線的定義可得點(diǎn)的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，從而可求曲線C的方程．
（2）設(shè)出直線方程代入拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）由題意，P到F（1，0）距離等于它到直線x=-1的距離，
由拋物線定義，知C為拋物線，F(xiàn)（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線，
所以C的方程為y²=4x；
（2）設(shè)Q（a，0），直線l的方程為x=my+a，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），．
直線方程代入拋物線的方程，可得y²-4my-4a=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a，
∴$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{1}-a）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{（{x}_{2}-a）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$
=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$•（$\frac{1}{{{y}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{y}_{2}}^{2}}$）=$\frac{2{m}^{2}+a}{2（1+{m}^{2}）{a}^{2}}$，
∴a=2時(shí)，$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值$\frac{1}{4}$，此時(shí)△＞0，
∴Q（2，0）時(shí)，$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于中檔題．