Question

7．已知點P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）右支上一點，以P為圓心能作一圓恰好過雙曲線的左頂點A和右焦點F，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． （1，2]
• B． （1，3]
• C． [2，+∞）
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 由題意求出A（-a，0）、F（c，0），由圓的性質(zhì)求出圓心P的橫坐標，代入雙曲線方程求出縱坐標的平方，根據(jù)兩點之間的距離公式和|AF|≤2|PA|，列出不等式化簡后求出離心率e的取值范圍．

解答 解：由題意得，A（-a，0），F(xiàn)（c，0），
因為AF是圓P的弦，所以圓心P的橫坐標：x=$\frac{-a+c}{2}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$得，${y}^{2}=\frac{^{2}（c+a）（c-3a）}{4{a}^{2}}$，
由|AF|≤2|PA|得，a+c≤2$\sqrt{{（\frac{-a+c}{2}+a）}^{2}+{y}^{2}}$，
則（a+c）²≤4[$（\frac{a+c}{2}）^{2}+\frac{^{2}（c+a）（c-3a）}{4{a}^{2}}$]，
化簡得$\frac{^{2}（c+a）（c-3a）}{4{a}^{2}}$≥0，即c-3a≥0，
即e=$\frac{c}{a}$≥3，所以離心率e的取值范圍為[3，+∞），
故選：D．

點評 本題考查求雙曲線離心率、標準方程與簡單幾何性質(zhì)，以及圓的有關(guān)性質(zhì)的應用，考查了化簡、變形能力．