Question

3．對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數(shù)f（x）為“可等域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)f（x）的一個(gè)“可等域區(qū)間”，給出下列四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）
②f（x）=|2^x-1|
③f（x）=2x²-1
④f（x）=log₂（2x-2）．
其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”的序號(hào)為②③．

Answer 1

分析 根據(jù)“可等域區(qū)間”的定義分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答 解：①：函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）的周期是4，正弦函數(shù)的性質(zhì)我們易得，A=[0，1]為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”，同時(shí)當(dāng)A=[-1，0]時(shí)也是函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”，∴不滿足唯一性．
②A=[0，1]為函數(shù)f（x）=|2^x-1|的“可等域區(qū)間”，
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x-1，函數(shù)單調(diào)遞增，f（0）=1-1=0，f（1）=2-1=1滿足條件，
∴m，n取值唯一．故滿足條件．
③當(dāng)A=[-1，1]時(shí)，f（x）∈[-1，1]，滿足條件，且由二次函數(shù)的圖象可知，滿足條件的集合只有A=[-1，1]一個(gè)．
④∵f（x）=log₂（2x-2）單調(diào)遞增，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
若存在“可等域區(qū)間”，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（2m-2）=m}\\{lo{g}_{2}（2n-2）=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2m-2={2}^{m}}\\{2n-2={2}^{n}}\end{array}\right.$，
∴m，n是方程2^x=2x-2的兩個(gè)根，
作出函數(shù)設(shè)f（x）=2^x和y=2x-2的圖象，
當(dāng)x＞1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)沒有交點(diǎn)，
∴f（x）=2^x-2x+2=0不可能存在兩個(gè)解，
故f（x）=log₂（2x-2）不存在“可等域區(qū)間”．
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的新定義問題，根據(jù)“可等域區(qū)間”的定義，建立條件關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．