Question

5．在△ABC中，∠ABC=90°，BC的中點為D，已知sin∠CAD=$\frac{1}{3}$，求∠CAB的正弦值．

Answer 1

分析 分別設(shè)出AB，．BD，則AD，AC可表示出來，利用余弦定理建立等式求得AB，則∠CAB的正弦值可得．

解答 解：
設(shè)AB=x，BD=CD=1，則AD=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，AC=$\sqrt{{x}^{2}+4}$
則在△ACD中，cos∠CAD=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2•AD•AC}$=$\frac{2{x}^{2}+4}{2\sqrt{{x}^{4}+5{x}^{2}+4}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
求得x=$\sqrt{2}$，
∴sin∠CAB=$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$

點評 本題主要考查了余弦定理的運(yùn)用，解三角形問題的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找到各邊的關(guān)系．