Question

11．已知函數(shù)f（x）=sinωxcosωx-$\sqrt{3}{cos^2}ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（ω＞0）圖象的兩條相鄰對稱軸為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的對稱軸方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）-$\frac{1}{3}$在（0，π）上的零點為x₁，x₂，求cos（x₁-x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)兩條相鄰對稱軸為$\frac{π}{2}$．求解出ω，即可求解對稱軸方程．
（2）利用零點為x₁，x₂，求解x₁，x₂的對稱軸．即可求cos（x₁-x₂）的值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=sinωx•cosωx-\sqrt{3}{cos^2}ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
化簡可得f（x）=$\frac{1}{2}sin2ωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2ωx$=$sin（2ωx-\frac{π}{3}）$
由題意可得周期T=π，
∴$ω=\frac{2π}{T}=2$
∴$f（x）=sin（4x-\frac{π}{3}）$
故函數(shù)y=f（x）的對稱軸方程為$4x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$
即$x=\frac{kπ}{4}+\frac{5π}{24}（k∈Z）$
（2）由函數(shù)y=f（x）-$\frac{1}{3}$在（0，π）上的零點為x₁，x₂，
可知$sin（2{x_1}-\frac{π}{3}）=sin（2{x_2}-\frac{π}{3}）=\frac{1}{3}＞0$，
且$0＜{x_1}＜\frac{5π}{12}＜{x_2}＜\frac{2π}{3}$．
易知（x₁，f（x₁））與（x₂，f（x₂））關(guān)于$x=\frac{5π}{12}$對稱，
則${x_1}+{x_2}=\frac{5π}{6}$，
∴$cos（{x_1}-{x_2}）=cos[{x_1}-（\frac{5π}{6}-{x_1}）]=cos（2{x_1}-\frac{5π}{6}）$=$cos[（2{x_1}-\frac{π}{3}）-\frac{π}{2}）]=sin（2{x_1}-\frac{π}{3}）=\frac{1}{3}$=sin（2${x}_{1}-\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．