Question

6．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線經過圓x²+y²-4x+2y=0的圓心，焦點到漸近線的距離為2，則雙曲線C的標準方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 根據條件建立方程關系求出a，b的值即可得到結論．

解答 解：設雙曲線的一個焦點為F（c，0），雙曲線的一條漸近線為y=$±\frac{a}x$，即bx-ay=0，
所以焦點到漸近線的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{bc}{c}=b$，即b=2，
圓的標準方程為（x-2）²+（y+1）²=5，則圓心坐標為（2，-1），
則y=-$\frac{a}x$=-$\frac{2}{a}$x經過點（2，-1），即-$\frac{4}{a}$=-1，則a=4，
則雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線標準方程的求解，根據條件分別求出a，b的值是解決本題的關鍵．